Diagonally Implicit Type RK Method for Direct Solution of Third Order Ordinary Differential Equations Using Relevant-Colored Tree and the Associated B-series Theory

Abstract

 The main contribution of this work is the development of direct implicit RK processes as solutions for any third-order ordinary differential equation (ODEs) indicated in this research (RKTDIO). To determine the requirements for the said order, we presented the relevant-colored tree theory and B-series. Based on the order conditions, two three-stage RKTDIO methods are created: a fifth-order method with three stages and a sixth-order method with four stages. The efficacy of the new RKTDIO methods is demonstrated numerically by comparing them to other current methods in terms of accuracy and a variety of function evaluations after converting the problems into a system of first-order ODE systems.

طريقة رنج-كوتا من النوع الضمني قطريًا لحل المعادلات التفاضلية الاعتيادية ذات الترتيب الثالث باستخدام الشجرة الملونة ذات الصلة ونظرية السلسلة B المرتبطة

الخلاصة

المساهمة الرئيسية لهذا العمل هي تطوير عمليات رنج-كوتا الضمنية المباشرة كحلول لأي معادلات تفاضلية عادية من الرتبة الثالثة  المشار إليها في هذا البحث (RKTDIO) لتحديد متطلبات الترتيب المذكور ، قدمنا نظرية الشجرة الملونة ذات الصلة ونظرية السلسلةB  . بناءً على شروط الطلب، يتم إنشاء طريقتين RKTDIO من ثلاث مراحل: طريقة من الدرجة الخامسة ذات ثلاث مراحل وطريقة من الدرجة السادسة بأربع مراحل. يتم إثبات فعالية طرق RKTDIO الجديدة عدديًا من خلال مقارنتها بالطرق الحالية الأخرى من حيث الدقة ومجموعة متنوعة من تقييمات الوظائف بعد تحويل المشكلات إلى نظام من أنظمة ODE من الدرجة الأولى.